1. 定义
贝塞尔曲线(Bezier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
贝塞尔曲线的一些特性：
使用
n
n
n个控制点
{
P
1
,
P
2
,
.
.
.
,
P
n
}
\{P_1,P_2,...,P_n\}
{P1,P2,...,Pn}来控制曲线的形状曲线通过起始点
P
1
P_1
P1和终止点
P
n
P_n
Pn，接近但不通过中间点
P
2
P_2
P2~
P
n
−
1
P_{n-1}
Pn−1
2. 直观理解
Step 1. 在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接
Step 2. 在线段
A
B
AB
AB和
B
C
BC
BC上找到
D
D
D、
E
E
E两点，使得
A
D
D
B
=
B
E
E
C
\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC}
DBAD=ECBE
Step 3. 连接
D
E
DE
DE，并在
D
E
DE
DE上找到
F
F
F点，使其满足
D
F
F
E
=
A
D
D
B
=
B
E
E
C
\frac{DF}{FE}=\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC}
FEDF=DBAD=ECBE（抛物线的三切线定理）
Step 4. 找出符合上述条件的所有点
上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的有
n
n
n阶贝塞尔曲线：
曲线图示一阶三阶四阶五阶
3. 公式推导
3.1 一次贝塞尔曲线（线性公式）
定义：给定点
P
0
P_0
P0、
P
1
P_1
P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下式给出，且其等同于线性插值：
B
(
t
)
=
P
0
+
(
P
1
−
P
0
)
t
=
(
1
−
t
)
P
0
+
t
P
1
,
t
∈
[
0
,
1
]
B(t)=P_0+(P_1-P_0)t=(1-t)P_0+tP_1,\text{ } t\in[0,1]
B(t)=P0+(P1−P0)t=(1−t)P0+tP1, t∈[0,1]
其中，公式里的
P
0
P_0
P0、
P
1
P_1
P1同步表示为其
x
x
x或
y
y
y轴坐标。
假设
P
0
P_0
P0坐标为
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)，
P
1
P_1
P1坐标为
(
c
,
d
)
(c,d)
(c,d)，
P
2
P_2
P2坐标为
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)，则有：
x
−
a
c
−
x
=
t
1
−
t
⇒
x
=
(
1
−
t
)
a
+
t
c
(3-1)
\frac{x-a}{c-x}=\frac{t}{1-t} \Rightarrow x=(1-t)a+tc \tag{3-1}
c−xx−a=1−tt⇒x=(1−t)a+tc(3-1)
同理有：
y
−
b
d
−
y
=
t
1
−
t
⇒
y
=
(
1
−
t
)
b
+
t
d
(3-2)
\frac{y-b}{d-y}=\frac{t}{1-t} \Rightarrow y=(1-t)b+td \tag{3-2}
d−yy−b=1−tt⇒y=(1−t)b+td(3-2)
于是可将
(
3
−
1
)
(
3
−
2
)
(3-1) (3-2)
(3−1)(3−2)简写为：
B
(
t
)
=
(
1
−
t
)
P
0
+
t
P
1
,
t
∈
[
0
,
1
]
(3-3)
B(t)=(1-t)P_0+tP_1 ,\text{ } t\in[0,1] \tag{3-3}
B(t)=(1−t)P0+tP1, t∈[0,1](3-3)
3.2 二次贝塞尔曲线（二次方公式）
定义：二次贝塞尔曲线的路径由给定点
P
0
P_0
P0、
P
1
P_1
P1、
P
2
P_2
P2的函数
B
(
t
)
B(t)
B(t)给出：
B
(
t
)
=
(
1
−
t
)
2
P
0
+
2
t
(
1
−
t
)
P
1
+
t
2
P
2
,
t
∈
[
0
,
1
]
B(t)=(1-t)^{2} P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,\text{ } t\in [0,1]
B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2, t∈[0,1]
假设
P
0
P
1
P_0P_1
P0P1上的点为
A
A
A，
P
1
P
2
P_1P_2
P1P2上的点为
B
B
B，
A
B
AB
AB上的点为
C
C
C（也即
C
C
C为曲线上的点。则根据一次贝塞尔曲线公式有：
A
=
(
1
−
t
)
P
0
+
t
P
1
B
=
(
1
−
t
)
P
1
+
t
P
2
C
=
(
1
−
t
)
A
+
t
B
(3-4)
\begin{array}{l} A=(1-t)P_0+tP_1 \\ B=(1-t)P_1+tP_2 \\ C=(1-t)A+tB \end{array} \tag{3-4}
A=(1−t)P0+tP1B=(1−t)P1+tP2C=(1−t)A+tB(3-4)
将上式中
A
A
A、
B
B
B带入
C
C
C中，即可得到二次贝塞尔曲线的公式：
B
(
t
)
=
(
1
−
t
)
2
P
0
+
2
t
(
1
−
t
)
P
1
+
t
2
P
2
,
t
∈
[
0
,
1
]
(3-5)
B(t)=(1-t)^{2} P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,\text{ } t\in [0,1] \tag{3-5}
B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2, t∈[0,1](3-5)
3.3 三次贝塞尔曲线（三次方公式）
同理可得三次贝塞尔曲线公式：
B
(
t
)
=
(
1
−
t
)
3
P
0
+
3
t
(
1
−
t
)
2
P
1
+
3
t
2
(
1
−
t
)
P
2
+
t
3
P
3
,
t
∈
[
0
,
1
]
(3-6)
B(t)=(1-t)^{3} P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3,\text{ } t\in [0,1] \tag{3-6}
B(t)=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3, t∈[0,1](3-6)
3.4
n
n
n次贝塞尔曲线（一般参数公式）
定义：给定点
P
0
,
P
1
,
.
.
.
,
P
n
P_0,P_1,...,P_n
P0,P1,...,Pn，则
n
n
n次贝塞尔曲线由下式给出：
n
n
n次贝塞尔曲线的公式可由如下递归表达：
P
0
n
=
(
1
−
t
)
P
0
n
−
1
+
t
P
1
n
−
1
,
t
∈
[
0
,
1
]
(3-7)
P_0^n=(1-t)P_0^{n-1}+tP_1^{n-1},\text{ }t\in[0,1] \tag{3-7}
P0n=(1−t)P0n−1+tP1n−1, t∈[0,1](3-7)
进一步可以得到贝塞尔曲线的递推计算公式：
P
i
k
{
P
i
,
k
=
0
(
1
−
t
)
P
i
k
−
1
+
t
P
i
+
1
k
−
1
,
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
;
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
k
P_i^k \begin{cases} P_i , \text{ } k=0 \\ (1-t)P_i^{k-1}+tP_{i+1}^{k-1} , \text{ } k=1,2,...,n; \text{ } i=0,1,...,n-k \end{cases}
Pik{Pi, k=0(1−t)Pik−1+tPi+1k−1, k=1,2,...,n; i=0,1,...,n−k
这就是德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s algorithm）
参考
[1] https://www.jianshu.com/p/0c9b4b681724 [2] https://www.jianshu.com/p/8f82db9556d2